수학(數學, 영어: mathematics, math, maths)은 수, 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 연구하는 학문이다. 수학은 산술, 대수학, 기하학, 해석학과 같은 전통적인 분야에서부터 집합론과 수리논리학 등 현대 수학의 기초 분야에 이르기까지 다양한 영역으로 구성된다. 수학은 일반적으로 논리에 기반한 엄밀한 증명을 통해 명제를 정당화하는 학문으로, 추상적인 대상과 그 구조를 탐구하는 데 중점을 둔다. 이러한 특징은 실험과 관찰에 크게 의존하는 자연과학과 구별되는 수학의 중요한 성질로 여겨진다. 수학은 자연과학, 공학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 현상을 기술하고 분석하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 특히 확률론과 통계학과 같은 분야는 실제 세계의 불확실성을 다루는 데 널리 활용되며, 암호학이나 최적화 이론 등은 정보기술과 산업 전반에 중요한 역할을 한다. 수학은 고대 문명에서의 계산과 측량에서 출발하여, 고대 그리스에서 유클리드의 『원론』을 통해 공리와 증명에 기반한 체계적인 학문으로 정립되었다. 이후 미적분학의 발전과 19세기 공리적 방법의 확립을 거치며 현대적인 형태로 발전해 왔다. == 수학의 성격 == 수학은 공리와 정의로부터 출발하여 논리적 연역을 통해 결론을 도출하는 학문으로, 증명을 통해 명제의 참과 거짓을 엄밀하게 확정하는 것을 특징으로 한다. 이러한 점에서 수학은 실험이나 관찰에 의존하는 자연과학과 구별되며, 형식적이고 체계적인 지식 체계를 이룬다. 수학은 높은 수준의 추상화와 일반화를 통해 다양한 현상을 통일적으로 설명할 수 있는 구조를 탐구한다. 예를 들어, 서로 다른 대상들이 동일한 수학적 구조를 공유할 경우, 하나의 이론으로 이들을 동시에 설명할 수 있다. 이러한 보편성은 수학이 여러 학문 분야에서 공통의 언어로 기능하게 하는 중요한 특징이다. 또한 수학은 자명한 사실로 받아들여지는 공리로부터 출발하여 복잡한 정리를 도출하는 방식으로 발전해 왔다. 이 과정에서 수학자들은 새로운 개념을 정의하고, 그 정의에 기반하여 정리를 증명함으로써 이론을 확장한다. 이러한 공리적 방법은 19세기 이후 수학 전반에서 널리 사용되는 표준적인 접근 방식이 되었다. 수학적 진리는 경험적 검증이 아닌 논리적 일관성에 의해 확립되며, 이는 수학이 다른 과학과 구별되는 중요한 특징이다. 한편, 실제 문제에서 출발한 수학적 개념이 순수한 이론으로 발전하기도 하고, 반대로 순수수학의 결과가 이후에 자연 현상을 설명하는 데 활용되기도 한다. 이러한 상호작용은 수학의 발전 과정에서 지속적으로 나타나는 특징이다. == 역사 == 수학의 기원은 고대 문명에서의 실용적 필요와 밀접하게 관련되어 있다. 메소포타미아와 고대 이집트에서는 토지 측량, 건축, 세금 계산 등을 위해 산술과 기하학적 지식이 발전하였으며, 인도와 중국에서도 독자적인 수학 전통이 형성되었다. 기원전 6세기 이후의 고대 그리스에서는 수학이 경험적 기술에서 벗어나, 정의와 공리를 바탕으로 한 연역적 학문으로 발전하였다. 특히 유클리드의 『원론』은 공리와 정리, 증명으로 구성된 체계적인 수학의 전형을 제시하였으며, 이후 수학 연구의 기본적인 형식에 큰 영향을 미쳤다. 중세에는 이슬람 세계와 유럽을 중심으로 고대 수학이 보존되고 확장되었으며, 특히 이슬람 황금 시대 동안 대수학과 삼각법이 크게 발전하였다. 이후 르네상스를 거치며 수학은 과학 혁명과 결합하여 새로운 전환점을 맞이하였고, 17세기에는 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 미적분학이 창시되었다. 18세기와 19세기에 걸쳐 수학은 점차 추상화되고 엄밀화되었다. 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스 등에 의해 극한과 연속성의 개념이 정식화되었으며, 비유클리드 기하학의 발견은 공간에 대한 기존의 직관을 근본적으로 확장시켰다. 이러한 변화는 수학의 기초에 대한 재검토를 촉발하였다. 19세기 말에서 20세기 초에 이르러 게오르크 칸토어의 집합론과 수리논리학의 발전은 수학의 기초를 공리적으로 재구성하는 계기가 되었으며, 이 과정에서 이른바 수학의 기초 위기가 나타났다. 이후 체르멜로-프렝켈 집합론과 공리적 방법이 정립되면서 현대 수학의 논리적 토대가 확립되었다. 20세기 이후 수학은 다양한 전문 분야로 세분화되었으며, 컴퓨터 과학과의 상호작용을 통해 새로운 연구 영역이 지속적으로 확장되고 있다. == 분야 == 수학은 연구 대상과 방법에 따라 여러 하위 분야로 나뉜다. 전통적으로는 산술, 대수학, 기하학이 중심을 이루었으며, 이후 해석학과 수리논리학 등이 추가되면서 현대적인 분류 체계가 형성되었다. 오늘날 수학은 순수수학과 응용수학으로 크게 구분되기도 하며, 각 분야는 서로 긴밀하게 연결되어 있다. 현재 널리 사용되는 분류 체계로는 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification, MSC)가 있으며, 2020년 기준으로 60개 이상의 주요 분야를 포함한다. 이들 분야는 서로 독립적으로 존재하는 것이 아니라, 다양한 방식으로 상호작용하며 발전한다. 예를 들어, 대수적 방법은 기하학에 적용되어 대수기하학을 형성하고, 해석학적 기법은 수론과 결합하여 해석적 수론을 이루는 등, 현대 수학은 여러 분야가 결합된 형태로 연구되는 경우가 많다. === 수론 === 수론(정수론)은 정수의 성질을 연구하는 수학의 한 분야로, 특히 소수와 약수, 합동식 등 정수의 구조적 성질을 다룬다. 전통적으로 수학에서 가장 오래된 분야 가운데 하나로 여겨지며, 간단한 문제 진술에도 불구하고 깊은 이론적 구조를 포함하는 것으로 알려져 있다. 수론의 기원은 고대 바빌로니아와 고대 그리스로 거슬러 올라간다. 유클리드는 『원론』에서 소수의 무한성과 최대공약수에 관한 알고리즘을 제시하였으며, 이후 디오판토스는 정수해를 구하는 문제를 체계적으로 연구하였다. 근대에 이르러 피에르 드 페르마와 레온하르트 오일러는 수론을 독립적인 연구 분야로 발전시켰고, 카를 프리드리히 가우스의 『Disquisitiones Arithmeticae(산술 연구)』는 현대 수론의 기초를 확립한 중요한 업적으로 평가된다. 수론의 주요 개념으로는 소수의 분포를 다루는